2015年2月26日星期四

Visual approach

之前都介紹過條短片講解Fundamental theorem of Algebra,今次介紹呢個proof [PDF]方法好特別,係用color去proof。

2015年2月25日星期三

Nested radical

好耐之前起某本書見過這個Nested radical,想了好一會也不知如何解,書中亦沒有solution。原來解法可以這麼簡潔聰明。

Geometric group theory

Terence Tao個blog呢就冇乜邊一篇文章可以睇得晒,今次揾到呢篇講Geometric group theory算係比較容易明少少。

2015年2月23日星期一

Euler product

Euler將zeta function由個連續加數轉變成乘數,

Zeta function ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ...
ζ(s)/2s = 1/2s + 1/4s + 1/6s + ...
ζ(s) - ζ(s)/2s = 1 + 1/3s + 1/5s + 1/7s + ...
(1 - 1/2s)ζ(s) = 1 + 1/3s + 1/5s + 1/7s + ...

所有2的倍數都消去,重覆以上步驟,3, 5, 7...到所有prime number,
(1 - 1/3s)(1 - 1/2s)ζ(s) = 1 + 1/5s + 1/7s + 1/11s...
(1 - 1/5s)(1 - 1/3s)(1 - 1/2s)ζ(s) = 1 + 1/7s + 1/11s + 1/13s...
(1 - 1/7s)(1 - 1/5s)(1 - 1/3s)(1 - 1/2s)ζ(s) = 1 + 1/11s + 1/13s + 1/17s...

到最後,右手面只餘1,左面是所有prime number相乘,
ζ(s) = 1/(1 - 1/2s) × 1/(1 - 1/3s) × 1/(1 - 1/5s) × 1/(1 - 1/7s) ...

但Euler並不止於此,他為了解決這個大乘數,他在兩邊做log,ln(n×m) = ln(n) + ln(m),ln(1) = 0
ln(ζ(s)) = -ln(1 - 1/2s) - ln(1 - 1/3s) - ln(1 - 1/5s) - ln(1 - 1/7s) ...

根據Taylor series,ln(1 - x) = - (x + x2/2 + x3/3 + x4/4 + ...),但x的absolute value要細過1。所以
ln(ζ(s)) = (1/2s + 1/(2 × 22s) + 1/(3 × 23s) + ...) +
                (1/3s + 1/(2 × 32s) + 1/(3 × 33s) + ...) +
                (1/5s + 1/(2 × 52s) + 1/(3 × 53s) + ...) +
                (1/7s + 1/(2 × 72s) + 1/(3 × 73s) + ...) +
...

另一方面,因為
ζ(s) = 1/(1 - 1/2s) × 1/(1 - 1/3s) × 1/(1 - 1/5s) × 1/(1 - 1/7s) ...
1/ζ(s) = (1 - 1/2s) × (1 - 1/3s) × (1 - 1/5s) × (1 - 1/7s) ...
1/ζ(s) = 1 - 1/2s - 1/3s - 1/5s + 1/6s ...
1/ζ(s) = Σ μ(n)/ns
μ(n)就是Möbius function

Zeta function的變種之多,真是目不暇給,再介紹一個簡單的,例如將它變為alternative series,
ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ...
2ζ(s) = 2 + 2/2s + 2/3s + 2/4s + ...
2ζ(s)/2s = 2/2s + 2/6s + 2/8s + ...
ζ(s) - 2ζ(s)/2s = 1 - 1/2s + 1/3s - 1/4s + ...
η(s) = ζ(s) - 2ζ(s)/2s = (1 - 21 - s)ζ(s)
η(s)就是Dirchlet eta function

這裡列出的只是簡單版,複雜版可以睇Terrence Tao版本

2015年2月16日星期一

數理人文-第三期

原先計第三期應該十二月出,但脫期,還擔心這本雜誌會唔會出完兩期就摺埋,好彩都一月出到,以後仲會以季刊形式推出,今期承惠五十大元。

今期主題係數學教育,以台灣和美國的小學到中學數學教育問題為主,探討為何兩地皆數學英才輩出,但普遍數學成績卻遠遠落後其它地區。教育專題佔半本以上,但本人就對這題材乏趣,本人一來不是老師,二來自己又不在美國台灣生活。

其次是講Klein bottle,這作為簡介Topology是不錯的,但我的興趣是Number theory,如果下期內容不是自己有興趣的,未必一定買來收藏。

今期最有趣的文章是漫步在馮諾曼花園,這篇文章簡介天才數學家John von Neumann,十幾歲就已經識寫論文。

如何畫一個正十七邊形?

如何在只用圓規和直尺(即是間尺但不用上面的刻度,只用來畫直線)的情況下,畫一個正十七邊形呢?Gauss 不單只畫了正十七邊形,也解決了什麼邊數的正多邊形可以用圓規和直尺畫。


2015年2月13日星期五

用regular expression check prime

好神奇,竟然可以用一行regular expression就可以check prime number

import sys
import re

def is_prime(p):
    return re.search(r"^1?$|^(11+?)\1+$", '1' * p) == None

if __name__ == "__main__":
    print(is_prime(int(sys.argv[1])))